Diario de Laura

GEROLAMO CARDANO

Gerolamo Cardano, (24 de septiembre de 1501 - 21 de septiembre de 1576) fue un médico, además de un matemático italiano del Renacimiento, astrólogo y un estudioso del azar. Este filósofo y enciclopedista fue autor de una de las primeras autobiografías modernas. También es conocido por ser el primero en publicar una solución general completa de la ecuación de tercer grado y de la ecuación de cuarto grado, y por sus aportaciones a la mecánica, como la suspensión cardán que lleva su nombre.

OBRA:

En primer lugar, Cardano destaca por sus trabajos de álgebra. En 1539 publicó su libro de aritmética Practica arithmetica et mensurandi singulares. Publicó las soluciones a las ecuaciones de tercer y cuarto grado en su Ars magna datado en 1545. La solución a un caso particular de ecuación cúbica

x^{3}+ax=b

(en notación moderna), le fue comunicada a través de Niccolò Fontana (más conocido como Tartaglia) a quien Cardano había jurado no desvelar el secreto de la resolución; no obstante, Cardano consideró que el juramento había expirado tras obtener información de otras fuentes por lo que polemizó con Tartaglia, a quien además cita.

Dado el polinomio $P(z)= a_0 + a_1z + a_2z^2 + a_3z^3 + ... + a_kz^k \,$ perteneciente a C[z] y dadas susraíces $z_1, z_2, z_3,...,z_k \,$ (pertenecientes a C), se cumplirán las siguientes ecuaciones (k ecuaciones en total):

$z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{k}=(-1)^{k}*{a_{0} \over a_{k}}$

$z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{k-1}+...+z_{2}*z_{3}*...z_{k}=(-1)^{k-1}*{a_{1} \over a_{k}}$

$z_{1}*z_{2}*z_{3}*...*z_{j}+...+z_{k-j+1}*z_{k-j+2}*...z_{k}=(-1)^{j}*{a_{k-j} \over a_{k}}$

$z_{1}*z_{2}+z_{1}*z_{3}+...+z_{k-1}*z_{k}=(-1)^{2}*{a_{k-2} \over a_{k}}={a_{k-2} \over a_{k}}$

$z_{1}+z_{2}+z_{3}+...+z_{k}={(-1)^{1}*a_{k-1} \over a_{k}}=-{a_{k-1} \over a_{k}}$

Cada ecuación sumará todos los posibles productos que se formarán con j raíces y lo igualará el cociente (con su signo correspondiente) entre el coeficiente j-ésimo del polinomio y el coeficiente principal del polinomio.

Estas relaciones sirven sobre todo para obtener determinados polinomios conocidas sus raíces. Cabe destacar que si conocemos k raíces de un polinomio de grado k, podremos encontrar a partir de estas relaciones un único polinomio de grado k que posea estas raíces (a menos de una constante multiplicativa).

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jueves, 29 de noviembre de 2018

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